Factorización

¿Qué entendemos por factorizar?

     Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Métodos de factorización

      Dentro del álgebra existen distintos métodos de factorización, pues cualquier expresión algebraica pueden ser factorizada, dicho método dependerá de las distintas características con las que cumpla la expresión, por mencionar algunas se encuentra la cantidad de términos del polinomio, o de qué tipo de producto sea éste. Los métodos más comunes de factorización son los siguientes:

·         Factor común

·         Diferencia de cuadrados

·         Trinomios con término de segundo grado.

·         Suma y diferencia de cubos.

·         Por Agrupación.

     A continuación se describirán y ejemplificarán cada uno de los métodos de factorización que mencionamos anteriormente.

Factor común

Este método consiste en la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Cuando multiplicamos, tenemos que: a(b + c) = ab + ac; cuando factorizamos  ab + ac = a(b + c).

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, axⁿ.  Aquí te presentamos cómo hacerlo:

Máximo factor común (MFC).

El término axⁿ, es el MFC de un polinomio si:

1.    a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y

2.    n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

Por ejemplo, si deseamos factorizar la expresión 12x³ + 18x², podríamos decir que 12x³ + 18x² = 3x(4x² + 6x). Pero aún no se ha factorizado completamente, pues 4x² + 6x puede factorizarse todavía más. Aquí el mayor entero que divide a 12 y 18 es 6, y el mínimo exponente de x en los dos términos es x². Concluyendo así que la factorización completa es 12x³ + 18x² = 6x²(2x + 3).

Otro ejemplo sería, x³ + x² = x² (x + 1), donde el factor común es x².

Más ejemplos... 

1.    2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

2.    x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

·         Diferencia de cuadrados

Debe entenderse que una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. Es decir, a² − b² = (a + b)(a − b) el cual escrito de la siguiente manera es un producto notable, (a + b)(a − b) = a² − b²  (visto en el apartado anterior). Para factorizar por este método es necesario tener una diferencia de cuadrados. Se le sacará la raíz a los dos términos y se colocarán cada uno como una suma por la resta de las raíces de cada término.

Por ejemplo, x² − y² = (x + y)(x – y) la raíz de x² es x y la de y² es y, por lo tanto el resultado será x² − y² = (x + y)(x – y). El término que se sumara y se restará siempre es el que tenga el signo negativo en la expresión original.

A continuación te presentamos un par de ejemplos:
     1.    x² − 4 = (x + 2)(x − 2)
     2.    x⁴ − 16 = (x² + 4)(x² − 4)

·         Trinomios con término de segundo grado

Entre este tipo de métodos se encuentre el de la factorización de un trinomio cuadrado perfecto donde de tener una expresión así a² ± 2 a b + b² es igual a tener una así (a ± b)². Es decir, Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

Este se obtiene de sacar la raíz cuadrada de dos de sus términos, y si al multiplicar estos resultados entre sí y doblar la cantidad resulta el término al que no se le sacó raíz, cumple con el criterio de una trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto se escribirá su factorización con el resultados de los término a los que se les sacó raíz, y entre ellos el signo del término al que no se le sacó la raíz, todo esto al cuadrado. 
Por ejemplo, se tiene la expresión x² - 2 xy + y², la raíz de x² es x y la de y² es y y el doble producto de estas raíces es 2xy, con lo que se concluye que esta expresión sí es un trinomio cuadrado perfecto y se factorizará así: x² - 2 xy + y² = (x - y)² recordar que el signo, o mejor dicho la operación entre x y y es –  (menos), signo correspondiente al término al cual no se le sacó raíz en la expresión original.

Te presentamos dos ejemplos de manera un poco más gráfica para que logres identificar mejor este método: 

             

    Suma y diferencia de cubos

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab +b²)

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab +b²)

Factorizar  y³ – 27, observemos primero que se puede escribir en otra forma: y³ – 3³

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores a = y, y b = 3, obtenemos:

y³ – 27 = y³ – 3³ = (y – 3) (y² + 3y + 9)

A continuación te presentamos dos ejemplos:

Factorizar    8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² – 6x +9)

Factorizar     t³ – 1 = (t – 1)(t² +t + 1) 

    Por Agrupación

Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos.
Consideremos x³ + x² + 2x + 2. No hay ningún factor diferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a x³ + x² y 2x + 2  por separado:

         

x³ + x² = x²(x + 1)           2x + 2 =  2(x + 1)

Por lo tanto x³ + x² + 2x + 2 = x²(x + 1) + 2(x + 1)  Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

   x²(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(2 + x²)

Es importante que sepas que este método se llama factorización por grupos (o por agrupación), y que no todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método. Te presentamos más ejemplos para que comprendas mejor el método.

Factorizar

6x³ – 9x² + 4x – 6 = (6x³ – 9x²) + (4x – 6)

                             = 3x²(2x – 3) + 2(2x – 3)

                             = (2x – 3) (3x² + 2)
Factorizar

x²y² + ay² + ab + b²x² = y² (x² + a) + b(x² + a)

                                    = (x² + a) (y²+ b)
Te toca a ti...

Los siguientes ejercicios los tendrás que elaborar, en tu cuaderno, de manera individual.

Da click sobre la imagen para ampliar.

Te recomendamos des click a la siguiente liga si quieres ver más ejemplos, en vídeo, del cómo llevar a acabo los distintos métodos de factorización.

Métodos de Factorización→ https://goo.gl/oKx726

Referencias: González, Salvador. (2005). Factorización. Recuperado en septiembre de 2016, en: https://goo.gl/9VZDwQ